Teoría de inventarios

En la industria, con el fin de evitar las interrupciones en las actividades propias de un proceso, se hace necesario mantener almacenada y lista para el uso, cierta cantidad de materia prima, lo cual es conocido como INVENTARIO.


El inventario trae asociado a el diversos costos, que se convierten para las empresas en un factor importante, el cual deben enfrentrar y minimizar de la forma más eficiente. Entre estos encontramos los que se muestran en la siguiente figura:

Los cuales definimos así:
  • Costo de ordenar o fabricar: Corresponde a los costos generados al crear la orden de un pedido o al producirlo internamente en la empresa. Por ejemplo, el costo por la realizacion de llamadas telefónicas para pedir el producto o el costo generado con el encendido de la maquinaria necesaria en la producción.
  • Costo unitario de compra: Corresponde al costo variable unitario dado por la compra de un producto específico a un proveedor. Generalmente incluye, los costos de materia prima, mano de obra, maquinaria utilizada y las utilidades para el proveedor, en algunos casos también hace parte de este grupo los costos de envío.
  • Costo de mantener inventario: Esta dado por los costos generados por el almacenamiento de cierta cantidad de producto, un período de tiempo específico. Pertenecen a esta categoría, los costos del capital invertido, de almacenamiento, impuestos, seguros, financieros y los asociados al proceso de obsolescencia del producto.
  • Costo por faltantes: También es llamado costo por la demanda instisfecha. Surge cuando la cantidad que se requiere de un producto, es mayor que el inventario del que se dispone. Este costo es dependiente del hecho si se aceptan o no faltantes por parte del demandante. En caso de aceptarse faltantes la demanda excesiva no se pierde, sino que espera el reabastecimiento con la próxima entrega. En el caso contrario (sin faltantes), el proveedor no puede esperar a la siguiente entrega para reabastecer el inventario de su cliente, debe solucionar la situación, mediante envío prioritario o con la cancelación de la(s) orden(es).


Para conseguir el objetivo de minimizar los costos, se aplican variadas técnicas de investigación de operaciones (IO), que en ocasiones son llamadas administración científica de inventarios. Estas se desarrollan a través de los siguientes pasos:
  1. Fomular el modelo matemático que describa el comportamiento del sistema.
  2. Elaborar la política óptima de inventarios a partir del modelo formulado.
  3. Utilizar un sistema de procesamiento de información que permita mantener el registro de los niveles del inventario
  4. Teniendo en cuenta los registros, aplicar la teoría óptima para establecer cuándo y en qué cantidad se debe reabastecer.
Los modelos de inventario, se clasifican de acuerdo a la posibilidad de predecir la
demanda (número de unidades que será necesario extraer de este para un uso determinado en un período de tiempo específico), de la siguiente manera:
  • Inventarios de demanda conocida (determinístico)
  • Inventarios de demanda desconocida (estocástico)





MODELO EOQ BÁSICO O SIN FALTANTES




El modelo EOQ básico o sin faltantes (Economic Order Quantity) o modelos del lote económico, es el modelo de inventarios mas sencillo que existe, el cual es aplicado en empresas dedicadas a la compra y venta de productos por lote, que se enfrentan en empresas dedicadas a la compra y venta de productos por lote, que se enfrentan a la reducción del inventario con el tiempo y al reabastecimiento del mismo con la llegada de nuevas unidades.


En este modelo, se manejan supuestos tales como:
  • La demanda (d) es una tasa constante y conocida.
  • El reabastecimiento del inventario se realiza de una sola vez, en el momento que se hace necesario, es decir, cuando el nivel de inventario llega a cero.
  • Los costos no son fluctuantes (se mantienen constantes).
  • Existe un costo generado por mantener el inventario.
  • Se genera costo al pedir el producto.


El comportamiento que presenta el inventario se muestra en la siguiente grafica,






Donde Q-dt es la tasa de demanda, t es el tiempo en el que se reduce el inventario por completo y Q corresponde a la cantidad de unidades a ordenar.
Para conocer el costo en el que se incurre, existe la función de costo que corresponde a:

En donde Cu es el costo unitario, Cp es el costo de hacer el pedido y Cmi corresponde al costo de mantener el inventario.


Con el fin de obtener el costo total anual por unidad de tiempo, multiplicamos la función costo total por N, que expresa el número de pedidos que se realizarán durante el año (N), teniendo en cuenta que:

Lo que nos da como resultado:



Realizando la respectiva reducción de términos semejantes y haciendo los reemplazos necesarios, obtenemos finalmente que:


A través de la aplicación de la última expresión, obtenemos el costo total anual.
El objetivo de la utilización del modelo de inventario, es la optimización del valor del costo total. Graficamente encontramos a este en la intersección del costo de pedir (Cp) y el costo de almacenar el inventario (Cmi), en la figura a continuación:



Para conseguir la expresión, que nos muestre el valor de Q óptimo, hacemos:

Así:
Con la aplicación de esta ecuación, nos damos cuenta de que:
  1. Cuando la cantidad que pedimos (D) es menor a la óptima, el costo de pedir (Cp) es mayor que el costo de mantener el pedido (Cmi).
  2. Si la cantidad (D), es la óptima el costo de pedir (Cp) y de mantener el pedido (Cmi), tienen el mismo valor.
  3. Cuando la cantidad que pedimos (D) es mayor que la óptima, el costo de pedir (Cp) es menor que el costo de mantener el pedido (Cmi).
     
MODELO EOQ CON FALTANTES




Existen situaciones en las que permitir faltantes tiene sentido desde el punto de vista administrativo. El requisito más importante es que los clientes, estén dispuestos a aceptar un retraso razonable en la recepción de sus pedidos si es necesario. Si así es, los costos de incurrir en faltantes no serán exorbitantes. Si el costo de mantener inventarios es alto en relación con los costos de los faltantes, bajar el nivel de inventarios y permitir faltantes breves ocasionalmente puede ser una buena opción.


En el modelo EOQ con faltantes, se manejan los mismos supuestos que en el modelo EOQ sin faltantes, con la única diferencia que en el que estudiaremos a continuación si admite faltantes , es decir cuando ocurre un faltante, los clientes afectados esperan que el producto esté de nuevo disponible. Sus ordenes pendientes se satisfacen de inmediato cuando llega la cantidad ordenada para reabastecer el inventario.





En la gráfica podemos notar, que los niveles de inventario se extienden a valores negativos que reflejan el número de unidades del producto que faltaron o están pendientes de entregar. Además podemos inferir que la manera más correcta para hallar el valor del costo total, es en función de Q y S; y no solo de Q como se realizaba en el modelo sin faltantes, así:
Donde:
  • Cu = Costo unitario
  • Q = Tamaño del lote
  • Cp = Costo de ordenar el pedido
  • Imax = Inventario máximo en un solo período
  • Cmi = Costo de almacenar el inventario
  • t1 = Tiempo en que el inventario finaliza
  • t2 = Tiempo en que se crean faltantes de pedido
  • S = Cantidad de pedido faltante
  • Cf = Costo por faltantes
Sabiendo que:


Reemplazamos en la función del costo total y nos queda:
Para obtener el costo total anual, multiplicamos por N a ambos lados de la función:
y obtenemos:
Resolviendo finalmente tenemos la función del costo total anual, así:
Para conseguir la ecuación, por la que obtenemos el valor óptimo de Q y S, derivamos la función costo total e igualamos a cero, así:






Despejando, obtenemos que:








MODELO LEP SIN FALTANTE


En este modelo, el abastecimiento del inventario se da mediante un proceso de producción, que toma un tiempo prudencial. Al momento de alcanzar una cantidad determinada, se detiene el proceso, que vuelve a iniciar solo cuando el inventario disminuye totalmente, así podemos decir que este modelo de producción tiene dos momentos importantes.

Se manejan supuestos como:

  • No se admiten faltantes
  • La rata (velocidad) de producción(R), debe ser mayor que el consumo de la demanda(D), R > D.
  • El proceso de producción realizado genera un costo de ordenar la producción (Cop), no desaparece el costo de mantener el inventario (Cmi).


Donde:
  • a = Se inicia el proceso de producción, el nivel de inventario es cero
  • b = Termina el proceso de producción
  • t1 = Tiempo en el que se realiza el proceso de producción
  • t2 = Tiempo en el que se inicia la disminución del nivel de inventario (No hay proceso de producción)
  • t = Tiempo transurrido entre cada inicio del proceso
  • R = Rata de producción
  • D = Demanda
El costo en este modelo, se obtiene al sumar los siguientes elementos:
Con el fin, tener todos los elementos de la función en términos de Q, reemplazamos:
Entonces, tenemos:
Y si ahora multiplicamos por N y simplificamos, obtenemos la función del costo total anual:

Para hallar la ecuación que nos permita saber el valor de Q óptimo (Q*), hallamos la derivada de la función C(Q) y la igualamos a cero así:




Despejando obtenemos que Q* es:



MODELO LEP CON FALTANTES 

En este modelo de inventarios, se programa el inicio del proceso de producción de las unidades, partiendo de la idea que se ha presentado un faltante de productos. Se presenta la idea de que la demanda de los productos, se presenta simultaneamente a la producción de ellos, sin embargo la tasa de producción es mayor que la demanda. De esta manera cuando se llega a la mayor cantidad de inventario posible, se detiene la producción hasta que esta se consuma totalmente y se produzca un déficit, luego del cual se iniciará de nuevo el proceso de producción.


Las suposiciones que se manejan en este modelo, en el que los inventarios se producen por la manufacturación de productos, son:
  • Se permiten faltantes y el cumplimiento de ordenes con retraso, partiendo de la idea que existe una cantidad mínima de faltante que es tolerable.
  • La tasa de producción es finita y mayor que la tasa de demanda.
  • Se conoce la tasa de producción, la demanda y los faltantes.
  • El Costo de Mantener el Inventario (Cmi) permanece en el modelo, pero ya no se habla de Costo de Pedir, sino de Manufacturación o producción.
El comportamiento que presenta el inventario según este modelo, lo vemos en la siguiente gráfica:



Donde:
  • t1 = Tiempo de producción, en el que se alcanza el inventario máximo
  • t2 = Tiempo donde no se produce, y se agota el inventario
  • t3 = Tiempo en el que se agota el inventario y se producen faltantes
  • t4 = Tiempo en el que se inicia la producción, para cumplir con los pedidos pendientes.
  • T = Suma de todos los tiempos
  • R = Tasa de producción
  • D = Tasa de demanda
La función de costo teniendo en cuenta todos los componentes, se expresa así:




De la gráfica tenemos que,


Con estos factores, haremos los reemplazos necesarios para obtener la función de costo en términos de Q y S.

Tengamos en cuenta que, 
Así, la función de costo en terminos de Q y S es:


Al multiplicar por N, para obtener el costo total para un periodo completo, nos queda:


Entonces al derivamos la función, obteniendo,
Con lo que al despejar obtenemos que los valores optimos de Q y S están dados por:





MODELO EOQ CON DESCUENTO POR CANTIDADES


En los modelos de inventario, que hemos estudiado con anterioridad, se ha planteado que el costo de cada unidad era constante y no dependia de la cantidad de articulos del lote de compra. En este modelo, ahora encontramos un factor diferente y es el hecho de que dependiendo de la cantidad de articulos que se adquieran, el precio de cada unidad varía, es decir que cuanto mas grande sea el tamaño del lote de compra, menor sera el precio de cada unidad del mismo.


Podemos explicar este modelos, mediante el desarrollo de un ejemplo:
  • Determine cual es la mejor opción de pedido, teniendo en cuenta si nos interesa disminuir los costos anuales, si la demanda es de 400 al año y el proveedor nos ofrece la siguiente tabla de descuento:



La compañía tasa un costo de manterner el inventario de 20% del precio del actículo, y el costo de colocar una orden es de $80.




Entonces, decimos que la cantidad óptima a pedir es 200 unidades, que nos arroja Costo Total Anual de $3520.




MODELO EOQ CON DEMANDA PROBABILÍSTICA



En este modelo, se suponen las mismas ideas que el modelo EOQ sin faltante. La variación que se presenta es que se considera que la demanda presenta una distribución normal, con varianza S y media X-trazo, con lo que se busca la estabilización del nivel de inventario, mediante una cantidad estabilizadora, esta cantidad se determina teniendo en cuenta que durante el tiempo de hacer un pedido y recibir el mismo la probabilidad de rotura de stock no supere un valor determinado por el que se incurra en finalización de inventario.

Los supuestos que se manejas son:
  • El comportamiento que tiene la demanda es de acuerdo a la distribución normal.
  • La cantidad a pedir es siempre la misma
  • Mediante una función de densidad de la probabilidad por unidad de tiempo, se muestra la demanda durante el tiempo de entrega.
Dado que en este modelo, se establece una cantidad en la que el número de pedidos de la demanda, podrá superar el inventario, de otra forma se presenta un nivel de significancia expresado por la letra griega alfa. Es necesario determinar un punto de reorden r, que muestra el numero minimo de unidades que deben estar en inventario en el momento que se haga un nuevo pedido, con el fin de tener en existencia unidades para satisfacer la demanda. Expresamos el punto de reorden a partir de la siguiente ecuación:
Donde:

El valor para Z, lo encontramos en las tablas para la distribución normal, como la que se muestra a continuación:




Referencias:
  • HILLIER, Frederick; LIBERMAN, Gerald; Introducción a la investigación de operaciones, Novena edición, Pearson, 2010. Cap. Teoría de inventarios.
  • SHAMBLIN, James Stevens; Investigación de operaciones Un enfoque fundamental